Pró Letramento Matemática 4


Seção 3: A ordenação dos números naturais
Quando perguntamos a você qual dos dois números naturais abaixo é o maior
8768 e 20 211
você responde com facilidade. Isto acontece por ter compreendido uma das principais características
do sistema decimal de numeração para números naturais – quanto mais algarismos houver,
maior o número. É a compreensão de que nosso sistema é posicional que permite fazer
uma primeira ordenação dos números naturais, decidindo qual é maior.
Da mesma forma que o significado da representação decimal dos números tem de ser aprendido
pelos alunos, a ordenação destes números também necessita de tempo de trabalho e de reflexão,
e a professora ou o professor deve estar atento a isto.
O trabalho com material concreto contribui para a descoberta de critérios de comparação e ordenação
de quantidades. Fazendo corresponder a cada elemento de um grupo de objetos um
elemento de outro grupo, o aluno se torna capaz de ordenar as duas coleções pela quantidade
de objetos, decidindo se em uma delas há mais do que na outra, ou se ambas têm quantidades
iguais. Desta forma, estamos ajudando nossos alunos a dar significado a relações importantes:
“... há mais que ...”, “... há menos que ...”,
“... há tantos quanto ...”.

Por exemplo: Dê uma certa quantidade de lápis e outra de borrachas para uma dupla de alunos e pergunte se há mais lápis do que borrachas. A estratégia de emparelhar os objetos ajuda o aluno a responder a esta pergunta.
Ao associar a quantidade de objetos de cada uma das coleções a um número natural, o aluno estará construindo significado para a ordenação dos números. Outras relações importantes podem ser construídas: “qual vem antes de ...”, “qual vem depois de ...”, “qual vem imediatamente antes de ...”. Também é importante explorar perguntas tais como: “quantos a mais”, “quantos a menos”, etc. , que serão importantes para dar significado às operações com números naturais.
Usando as idéias de comparação de coleções e contagem dos elementos de cada coleção, elabore uma atividade de ordenação de números naturais para os alunos.

Seção 4: A reta numérica


A representação dos números em uma reta é um recurso valioso em Matemática. Experiências com este modelo podem se iniciar bem cedo, utilizando recursos concretos, como barbantes, passos sobre uma linha desenhada no chão, etc. Observe que a reta numérica ajuda a visualizar a ordenação dos números naturais.


Nas primeiras experiências, é importante iniciar sempre do zero e os alunos devem perceber que se deve usar espaços iguais entre as marcas que representam intervalos iguais. A reta numérica é um excelente apoio visual para as atividades de ordenação de números naturais. Por exemplo: Peça que os alunos marquem na reta os números 4, 7 e 11.

A reta numérica também contribui muito para ajudar seus alunos a compreender e realizar as operações com números naturais, como veremos no Fascículo 2.
Elabore uma atividade lúdica de ordenação de números naturais na reta numérica.
Seção 5: As centenas


Quando os alunos já estiverem trabalhando números com dois algarismos com mais facilidade, faça os agrupamentos com quantidades maiores que 99, utilizando o mesmo processo adotado até o momento. Nesta etapa, é fundamental enfatizar que a “regra do jogo” precisa ser mantida, ou seja, em nosso sistema de numeração usamos agrupamentos de 10 em 10. Assim, os alunos devem perceber que, ao completarem dez grupos de dez, é preciso fazer um novo agrupamento de outra ordem, ou seja, um grupão de grupos de dez. O novo grupão, que conterá 100 unidades ou dez dezenas, será representado por um algarismo em uma nova casa decimal, uma nova ordem.
Sugestão: Quando houver necessidade de uma quantidade muito grande de palitos, negocie com as crianças a troca de grupos e grupões por palitos coloridos. Mesmo assim, é preciso ter bastante material que represente as unidades e as dezenas, pois o aluno deve experimentar algumas  trocas concretamente. Por exemplo:

· 1 palito natural vale 1 unidade.

.1 palito vermelho vale 10 palitos naturais, logo, 10 unidades.

1 palito azul vale 10 vermelhos, ou seja, 100 naturais. Portanto, 100 unidades.
 
Descreva pelo menos quatro representações diferentes para o número 984 usando materiais concretos.
 
Seção 6: Outros recursos


Lembre-se de que nosso sistema de numeração levou séculos para ser construído. Portanto, é necessário que a criança vivencie de diversos modos esse aprendizado, com diversos materiais. Quanto mais modelos utilizar, mais o pensamento da criança se torna flexível e mais fácil será chegar a um conceito mais abstrato, que poderá ser usado em novas situações. A seguir, apresentamos alguns exemplos de materiais, dentre muitas possibilidades.
Este material, também conhecido como material montessoriano de contagem, é composto de cubos, barras e placas de madeira, de modo que:
Material Dourado

· um cubo pequeno, de 1 cm x 1cm x 1 cm, representa a unidade. ○ ○ ○

uma barra, com 10 cubos unidos, representa 1 dezena


uma placa com 100 cubos unidos (ou 10 barras unidas) representa a centena.

um cubo grande, com 1.000 cubos pequenos (ou 10 placas unidas ou 100 barras unidas) representa o milhar.


Se você encontrar dificuldade em conseguir os cubos e barras de madeira, use cartões em que os quadradinhos são desenhados, formando as unidades, dezenas e centenas. Em um segundo momento, as crianças podem também passar a representar este material na forma de desenhos – estas idéias e estas representações serão bem exploradas ao trabalharmos com as operações de números naturais, no Fascículo 2.

O Quadro Valor Lugar (QVL)

O QVL mostrado na ilustração ao lado, é um recurso que reforça o significado da representação posicional decimal. Ao montar uma tabela na qual estão indicadas claramente as ordens decimais (unidade, dezena, centena, etc.) o aluno pode fazer e desfazer agrupamentos, representar com desenho estes agrupamentos e dar significado aos números escritos no sistema decimal de numeração. O QVL deve acompanhar os alunos durante todo o
aprendizado do sistema decimal de numeração e dos algoritmos das operações com números naturais. Ele
ainda poderá voltar a ser utilizado quando este sistema for ampliado no estudo de decimais, para incluir as
ordens menores que a unidade (décimos, centésimos, etc.). Embora você deva, aos poucos, incentivar seus alunos a não usar sempre materiais concretos, tais recursos serão úteis toda vez que for introduzida uma nova ordem decimal, ou quando os alunos demonstrarem dificuldades na compreensão do valor posicional.

Explique por que é errado dizer que o número 28 tem 8 unidades. Quantas unidades tem 28? Qual é o significado correto do algarismo 8, em 28?
Explique por que é errado dizer que o número 234 tem 3 dezenas. Quantas dezenas tem 234? Qual é o significado correto do algarismo 3, em 234?

Elabore uma atividade, explorando recursos discutidos neste fascículo, para ajudar seus alunos a compreender que há unidades agrupadas nas dezenas, dezenas agrupadas nas centenas, e assim por diante.

Parte 2: Preparando para a adição e a subtração


A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias experiências concretas envolvendo o conceito da adição para que ela possa interiorizá-lo e transferi-lo para a aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um mecanismo de cálculo. A conceituação da operação de subtração deve ser feita paralelamente, já que em atividades concretas a exploração dos dois tipos de conceitos é muito natural. Além disso, não podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem de ver, na prática, que a subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo, quando reúne objetos para desenvolver o significado da adição, a criança sente que pode também separá-los. Assim, ela vê que se 4 + 2 = 6, vale também que 6 – 2 = 4.
Quando desenvolve o conceito de número, a criança verifica, por exemplo, que pode arrumar cinco palitos como “quatro e um” ou “três e dois”. Tais experiências devem ser enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais tarde, em linguagem matemática como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5. A professora ou o professor terá de oferecer inúmeras oportunidades concretas para que a criança comece a exprimir experiências em linguagem matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, esta ação deve refletir uma experiência e não uma simples informação
transmitida pela professora ou pelo professor.
 
Na seção 3 da Parte I, afirmamos que perguntas como: “quantos a mais” e “quantos a menos” ajudam a dar significado às operações. Discuta a qual operação cada uma destas perguntas está associada.
 
Seção 2: Ações associadas às operações de adição e subtração

A adição corresponde sempre a dois tipos básicos de ação: juntar (ou reunir) ou então acrescentar, enquanto a subtração corresponde às ações de: retirar, comparar ou completar. É muito importante que as crianças vivenciem experiências envolvendo todos estes tipos de ação. A dificuldade que os alunos sentem na resolução de problemas, expressada muitas vezes pela pergunta “que conta devo fazer?”, é causada, principalmente, pela falta de experiências concretas variadas. Atividades que envolvem a ação de juntar Utilize materiais concretos como chapinhas, palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma folha de papel para cada aluno, na qual estão desenhados três círculos de cores diferentes (azul, vermelho e verde, por exemplo). Peça às crianças que coloquem 3 lápis no círculo vermelho e 2 no círculo azul. Feito isto, peça que juntem todos os lápis no círculo verde e pergunte: “quantos lápis estão reunidos no círculo verde?”.
Explore atividades lúdicas, como por exemplo o “jogo de esconder”. Neste jogo, distribua um certo número de objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos (podem ser 9 no primeiro 21 U mo mento, e mais tarde uma quantidade maior). Diga às crianças que o jogo tem as seguintes regras:
a) um aluno apresenta ao seu colega uma certa quantidade de fichas (ou do objeto que estiver sendo utilizando) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas permanecem escondidas da vista do outro jogador.
b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel.
c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha.
d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada resultado correto será marcado um ponto para o jogador.
e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. Depois os pontos são contados para se determinar o vencedor da partida.

Crie um jogo com a idéia de juntar e que possa ser desenvolvido na área externa de sua escola, envolvendo a participação corporal das crianças.

Atividades que envolvem a ação de acrescentar
Uma forma interessante de se trabalhar é contar histórias, usando, por exemplo, flanelogravuras. Por exemplo: “Havia 5 patinhos no lago”. Peça que um aluno venha à frente e prenda cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças acompanhem a tarefa. Continue contando: “Chegaram mais dois patinhos”. Outro aluno deve fazer a ação de acrescentar os novos patinhos ao flanelógrafo. Pergunte então, no final: “quantos patinhos estão agora no lago?”. Ações de acrescentar são também bastante comuns em situações que ocorrem no cotidiano da sala de aula. A professora ou o professor atento pode registrar estas ocorrências e fazer perguntas.

Exemplifique pelo menos duas situações possíveis de ocorrer no cotidiano da sala de aula, nas quais a professora ou o professor pode chamar a atenção para a ação de acrescentar. Para cada uma delas, registre uma pergunta que a professora ou o professor pode fazer aos seus alunos.

Atividades que envolvem a ação de retirar

Usando o mesmo tipo de material adotado em atividades anteriores, proponha que um aluno  “coloque 5 borrachas dentro da caixa”. Depois, peça que ele “retire 3” e que, ao final, “verifique quantas ficaram na caixa”.

Dessa forma, estaremos sempre subtraindo elementos de um mesmo conjunto. Do total de 3 lápis (conjunto maior), retiramos 2 deles, que foram emparelhados com as 2 borrachas. Sobra 1 lápis. Este resultado diz “quantos a mais” há no conjunto maior. Utilize materiais diferenciados e proporcione muitas atividades de emparelhar objetos. Somente quando você perceber que a relação da ação de comparação com a subtração foi compreendida e está sendo corretamente utilizada, é que você poderá partir para generalizações, trabalhando com comparações nas quais os alunos não possam dispor os elementos dos dois conjuntos lado a lado.

TI 13

Elabore uma atividade de comparação na qual os alunos precisam ter interiorizado a idéia de comparar, pois não é possível dispor concretamente os elementos dos dois grupos lado a lado.

Atividades que envolvem a ação de completar

Para a criança, a utilização da subtração em situações de completar é ainda mais difícil. Quando precisamos descobrir quantos elementos faltam para completar um conjunto de objetos, a ação  completar está intimamente relacionada à ação de acrescentar. No entanto, a operação realizada é a subtração, e as crianças devem ser ajudadas a compreender POR QUE se usa a subtração para resolver esse tipo de situação, à qual uma idéia aditiva está associada. Aqui, para compreender que a subtração resolve esse tipo de situação-problema, o aluno deve ser levado a visualizar a quantidade total necessária e a retirada do que já tem deste total. Separando o conjunto de objetos disponíveis do total necessário, o aluno verá porque subtrai para encontrar a resposta.
Coloque no flanelógrafo (ou sobre uma mesa, ou em um mural) 2 agrupamentos de figuras, sendo que em um dos conjuntos faltam algumas figuras que estão no outro.
Peça a um aluno que complete o segundo grupo, levando-o a responder à seguinte questão:
“Quantas figuras você precisou colocar para que as quantidades ficassem iguais?”.
A ação de completar pode ser explorada em atividades nas quais os alunos tenham de completar uma tarefa já iniciada. Podemos utilizar folhas com desenhos para colorir ou completar: Veja:

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Elabore uma situação–problema envolvendo a ação de completar. Liste as perguntas que você deve fazer ao seu aluno.

Maria tem 4 vasos.
- “Quantos estão com plantas?”
- “Quantos estão vazios?”
- “Complete o trabalho de Maria, desenhando flores nos vasos vazios”.


Diante do problema de comparação: “Flávia tem 38 anos e sua filha, Duda, tem 13. Quantos anos a filha de Flávia tem a menos que ela?”, Clara apresentou a seguinte solução, apoiada na idéia de reta numérica:
Clara marcou na reta as duas idades (13 e 38) envolvidas no problema. Em seguida, marcou os números 20 e 30 e assinalou “saltos”, com os valores 7, 10 e 8, para sair de 13 e chegar a 38. Abaixo desta representação, a
aluna escreveu a resposta correta, ou seja, 25.
a) Clara realizou um cálculo mental para obter a resposta. Qual foi?
b) Por que você acha que Clara escolheu estes “saltos”?
c) Exemplifique outros “saltos” que uma criança poderia usar para chegar à resposta.
d) Que lhe parece mais natural: calcular 38-13 ou as ações de Clara? Por quê?


Forme, na frente da turma, uma fila de crianças (até 9). Peça a uma criança, que não esteja na fila, que observe a quantidade de crianças na fila e depois vire de costas. Sem falar, retire alguns alunos da fila e diga à criança de costas que se vire. Em seguida, pergunte:

- “Quantos alunos havia na fila?”
- “Quantos alunos ainda ficaram?”
- “Quantos saíram?”

Repita a atividade com outros alunos, sempre mudando o número de alunos da fila.
 
Em um problema de retirada, sempre há pelo menos três quantidades envolvidas:
(1) quanto havia antes da retirada; (2) quanto foi retirado e (3) quanto restou. Para

cada uma das duas sugestões feitas acima, reconheça qual dessas quantidades a

criança deve encontrar e quais são as quantidades conhecidas no problema.
 
Atividades que envolvem a ação de comparar
 
A ação de comparar não é do mesmo tipo que a ação de retirar. Considerando o grupo original dado, na ação de retirar uma parte era subtraída para se encontrar o resto. No entanto, numa ação comparativa como “Marcos tem 5 lápis e 2 canetas. Quantos lápis ele tem a mais do que canetas?”, as duas canetas não podem ser retiradas do conjunto de 5 lápis. A forma de criar situações para que a criança perceba que a operação de subtração é a que deve ser associada à comparação é o emparelhamento de objetos. Colocando os elementos dos dois
conjuntos, lado a lado, até que todos os elementos de um dos conjuntos tenham sido utilizados, a criança verá que a resposta (quantos a mais) é a quantidade de elementos que ficaram sem par. A ação concreta necessária para encontrar esta resposta é separar ou retirar os elementos do conjunto maior, que tiveram elementos correspondentes no conjunto menor. Assim, ele estará determinando o número de elementos do resto, e esta ação corresponde à determinação de quantos elementos a mais existem.



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